Si entiendo la pregunta, la función de utilidad es Cobb-Douglas de la forma [math] u (x, y) = x ^ {\ alpha} y ^ {1- \ alpha} [/ math] después de reemplazar [math] \ beta [/ math] con [math] 1- \ alpha [/ math].
Para encontrar la elasticidad de la demanda de x con respecto al precio de x, primero debe encontrar el consumo de x que maximiza la utilidad en función de [math] \ alpha [/ math], [math] p_ {x} [/ math], [math] p_ {y} [/ math] y [math] M [/ math]. Para hacer eso, forma el Lagrangean
[matemáticas] L (x, y, \ lambda) = x ^ {\ alpha} y ^ {1- \ alpha} – \ lambda (M-xp_x-yp_y) [/ math]
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Diferenciar parcialmente esa función con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas], estableciendo cada derivada parcial igual a 0. (Sugerencia: el primer paso Te regalaré
[matemáticas] \ alpha x ^ {\ alpha-1} y ^ {1- \ alpha} – \ lambda p_ {x} = 0 [/ matemáticas], o
[matemáticas] \ alpha \ left (\ frac {x} {y} \ right) ^ {\ alpha -1} – \ lambda p_ {x} = 0 [/ math]
El segundo paso le dará una expresión similar que contiene [matemática] \ alpha [/ matemática], [matemática] \ frac {x} {y} [/ matemática], [matemática] p_ {y} [/ matemática] y [ matemáticas] \ lambda [/ matemáticas]. Combina las dos primeras expresiones para eliminar [math] \ lambda [/ math]. Finalmente, use la tercera expresión para encontrar [matemática] y [/ matemática] en términos de [matemática] x [/ matemática], [matemática] M [/ matemática], [matemática] p_ {x} [/ matemática] y [math] p_ {y} [/ math] y sustitúyalo nuevamente en los resultados de sus cálculos anteriores.
Tendrá que hacer un poco de manipulación, pero eventualmente encontrará el consumo que maximiza la utilidad de [math] x [/ math] en función de los otros parámetros.
Ahora diferencie esa expresión con respecto a [math] p_ {x} [/ math] y divida el resultado por [math] \ frac {x} {p_ {x}} [/ math]. Esa es la elasticidad de precio propio.
Luego, diferencie la misma expresión con respecto a [math] p_ {y} [/ math] y divida el resultado por [math] \ frac {x} {p_ {y}} [/ math]. Esa es la elasticidad de precio cruzado.
Finalmente, diferencie la expresión con respecto a [matemáticas] M [/ matemáticas] y divida el resultado entre [matemáticas] \ frac {x} {M} [/ matemáticas] Esa es la elasticidad del ingreso.