Cómo calcular la elasticidad sin un cambio dado en el precio

Si entiendo la pregunta, la función de utilidad es Cobb-Douglas de la forma [math] u (x, y) = x ^ {\ alpha} y ^ {1- \ alpha} [/ math] después de reemplazar [math] \ beta [/ math] con [math] 1- \ alpha [/ math].

Para encontrar la elasticidad de la demanda de x con respecto al precio de x, primero debe encontrar el consumo de x que maximiza la utilidad en función de [math] \ alpha [/ math], [math] p_ {x} [/ math], [math] p_ {y} [/ math] y [math] M [/ math]. Para hacer eso, forma el Lagrangean

[matemáticas] L (x, y, \ lambda) = x ^ {\ alpha} y ^ {1- \ alpha} – \ lambda (M-xp_x-yp_y) [/ math]

Diferenciar parcialmente esa función con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas], estableciendo cada derivada parcial igual a 0. (Sugerencia: el primer paso Te regalaré

[matemáticas] \ alpha x ^ {\ alpha-1} y ^ {1- \ alpha} – \ lambda p_ {x} = 0 [/ matemáticas], o

[matemáticas] \ alpha \ left (\ frac {x} {y} \ right) ^ {\ alpha -1} – \ lambda p_ {x} = 0 [/ math]

El segundo paso le dará una expresión similar que contiene [matemática] \ alpha [/ matemática], [matemática] \ frac {x} {y} [/ matemática], [matemática] p_ {y} [/ matemática] y [ matemáticas] \ lambda [/ matemáticas]. Combina las dos primeras expresiones para eliminar [math] \ lambda [/ math]. Finalmente, use la tercera expresión para encontrar [matemática] y [/ matemática] en términos de [matemática] x [/ matemática], [matemática] M [/ matemática], [matemática] p_ {x} [/ matemática] y [math] p_ {y} [/ math] y sustitúyalo nuevamente en los resultados de sus cálculos anteriores.

Tendrá que hacer un poco de manipulación, pero eventualmente encontrará el consumo que maximiza la utilidad de [math] x [/ math] en función de los otros parámetros.

Ahora diferencie esa expresión con respecto a [math] p_ {x} [/ math] y divida el resultado por [math] \ frac {x} {p_ {x}} [/ math]. Esa es la elasticidad de precio propio.

Luego, diferencie la misma expresión con respecto a [math] p_ {y} [/ math] y divida el resultado por [math] \ frac {x} {p_ {y}} [/ math]. Esa es la elasticidad de precio cruzado.

Finalmente, diferencie la expresión con respecto a [matemáticas] M [/ matemáticas] y divida el resultado entre [matemáticas] \ frac {x} {M} [/ matemáticas] Esa es la elasticidad del ingreso.

Dados los datos:

  • Función de utilidad: [math] u (x, y) = x ^ \ alpha y ^ {1- \ alpha} [/ math]
  • Ingresos: [matemáticas] M [/ matemáticas]
  • Precios: [matemática] p_X> 0 [/ matemática] y [matemática] p_Y> 0 [/ matemática]

El problema de maximización de la utilidad es

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ max \ limits_ {x, y} & \ \ x ^ \ alpha y ^ {1- \ alpha} \\ \ text {st} & \ \ p_Xx + p_Yy = M \\ \ text {and} & \ \ x \ geq 0, \ \ y \ geq 0 \ end {eqnarray *} [/ math]

La solución al problema anterior satisface:

  • La pendiente de la curva de indiferencia en la solución es igual a la pendiente de la línea presupuestaria, es decir, MRS es igual a la relación de precios: [matemática] \ displaystyle \ frac {\ alpha y} {(1- \ alpha) x} = \ frac {p_X} {p_Y} [/ math]
  • Ecuación de presupuesto: [matemáticas] p_Xx + p_Yy = M [/ matemáticas]

Resolverlos nos da una demanda de X e Y: [matemáticas] (x ^ d, y ^ d) = \ displaystyle \ left (\ frac {\ alpha M} {p_X}, \ frac {(1- \ alpha) M} {p_Y} \ right) [/ math].

Para encontrar las elasticidades, será útil escribir la demanda de X como

[matemáticas] \ log x ^ d = \ log \ alpha + \ log M – \ log p_X [/ math]

Encontremos ahora las elasticidades:

  • Elasticidad de precio de la demanda de X [matemática] = \ displaystyle \ frac {d \ log x ^ d} {d \ log p_X} = -1 [/ matemática]
  • Elasticidad del ingreso de la demanda de X [matemática] = \ displaystyle \ frac {d \ log x ^ d} {d \ log M} = 1 [/ matemática]
  • Elasticidad de precio cruzado de la demanda para X [matemática] = \ displaystyle \ frac {d \ log x ^ d} {d \ log p_Y} = 0 [/ matemática]